2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导，f(A)=f(B)=0，f’(A)f’(B)＞0．试证： 存在η∈(a，b)，使f’’(η)=f(η)．

设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导，f(A)=f(B)=0，f’(A)f’(B)＞0．试证： 存在η∈(a，b)，使f’’(η)=f(η)．

admin2016-12-09  13
问题 设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导，f(A)=f(B)=0，f’(A)f’(B)＞0．试证：
存在η∈(a，b)，使f’’(η)=f(η)．
选项
答案令ψ(x)=exf(x)，则 ψ(A)=ψ(ξ)一ψ(B)=0． 由罗尔定理知，存在a∈(a，ξ)，使 ψ’(ξ1)=[eXf(x)]’｜x=ξ=0， 即 f(ξ1)+f’(ξ1)=0． 同理，存在ξ2∈(ξ，b)，使 ψ’(ξ2)=eξ2[f(ξ2)+f’(ξ2)]=0， 即 f(ξ2)+f’(ξ2)=0． 再令 F(x)=e-x(f(x)+f’(x))， 则 F(ξ2)=F(ξ2)=0． 对F(x)在[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理知，存在 η∈(ξ1，ξ2)C(a，b)，使得 F’(x)｜x=η={一e-x[f(x)+f’(x)]+e-x[f’(x)+f’’(x)]}x=η =e-x[f’’(x)f(x)]｜x=η=0，即 F’(η)一e-η[f’’(η)一f(η)]=0，亦即f’’(η)=f(η)．
解析
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考研数学二

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