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设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 (Ⅰ)求X,Y的边缘密度函数,并判断X,Y的独立性; (Ⅱ)设Z=|X|+Y,求Fz(z).
设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 (Ⅰ)求X,Y的边缘密度函数,并判断X,Y的独立性; (Ⅱ)设Z=|X|+Y,求Fz(z).
admin
2022-12-09
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问题
设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
(Ⅰ)求X,Y的边缘密度函数,并判断X,Y的独立性;
(Ⅱ)设Z=|X|+Y,求F
z
(z).
选项
答案
(Ⅰ)X的边缘密度函数f
X
(x)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dy, 当x≤-1或x≥1时,f
X
(x)=0;当-1<x<1时,f
X
(x)=|x|, 从而 [*] Y的边缘密度函数f
Y
(y)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dx, 当y≤0或y≥1时,f
Y
(y)=0; 当0<y<1时,f
Y
(y)=∫
-1
1
2|x|ydx=4y∫
0
1
xdx=2y, 从而 [*] 因为f(x,y)=f
X
(x),f
Y
(y),所以X,Y相互独立. (Ⅱ)随机变量Z的分布函数为F
Z
(z)=[*]f(x,y)dxdy, 当z<0时,F
Z
(z)=0; 当0≤z<1时,F
Z
(z)=2∫
0
x
dx∫
0
z-x
2xydy=2∫
0
z
x(z-x)
2
dx=z
4
/6; 当1≤x<2时, F
Z
(z)=1-2∫
z-1
1
dx∫
z-x
1
2xydy=1-2∫
z-1
1
x[1-(z-x)
2
]dx=1-8z/3+2z
2
-z
4
/6; 当z≥2时,F
Z
(z)=1. 故 [*]
解析
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考研数学三
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