2. 考研
  3. 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 (Ⅰ)求X，Y的边缘密度函数，并判断X，Y的独立性； (Ⅱ)设Z=|X|+Y，求Fz(z)．

设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 (Ⅰ)求X，Y的边缘密度函数，并判断X，Y的独立性； (Ⅱ)设Z=|X|+Y，求Fz(z)．

admin2022-12-09  53
问题 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为

(Ⅰ)求X，Y的边缘密度函数，并判断X，Y的独立性；
(Ⅱ)设Z=|X|+Y，求Fz(z)．
选项
答案(Ⅰ)X的边缘密度函数fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy， 当x≤-1或x≥1时，fX(x)=0；当-1＜x＜1时，fX(x)=|x|， 从而 [*] Y的边缘密度函数fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx， 当y≤0或y≥1时，fY(y)=0； 当0＜y＜1时，fY(y)=∫-112|x|ydx=4y∫01xdx=2y， 从而 [*] 因为f(x，y)=fX(x)，fY(y)，所以X，Y相互独立． (Ⅱ)随机变量Z的分布函数为FZ(z)=[*]f(x，y)dxdy， 当z＜0时，FZ(z)=0； 当0≤z＜1时，FZ(z)=2∫0xdx∫0z-x2xydy=2∫0zx(z-x)2dx=z4/6； 当1≤x＜2时， FZ(z)=1-2∫z-11dx∫z-x12xydy=1-2∫z-11x[1-(z-x)2]dx=1-8z/3+2z2-z4/6； 当z≥2时，FZ(z)=1． 故 [*]
解析
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考研数学三

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