设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 (Ⅰ)求X,Y的边缘密度函数,并判断X,Y的独立性; (Ⅱ)设Z=|X|+Y,求Fz(z).

admin2022-12-09  29

问题 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

(Ⅰ)求X,Y的边缘密度函数,并判断X,Y的独立性;
(Ⅱ)设Z=|X|+Y,求Fz(z).

选项

答案(Ⅰ)X的边缘密度函数fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy, 当x≤-1或x≥1时,fX(x)=0;当-1<x<1时,fX(x)=|x|, 从而 [*] Y的边缘密度函数fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx, 当y≤0或y≥1时,fY(y)=0; 当0<y<1时,fY(y)=∫-112|x|ydx=4y∫01xdx=2y, 从而 [*] 因为f(x,y)=fX(x),fY(y),所以X,Y相互独立. (Ⅱ)随机变量Z的分布函数为FZ(z)=[*]f(x,y)dxdy, 当z<0时,FZ(z)=0; 当0≤z<1时,FZ(z)=2∫0xdx∫0z-x2xydy=2∫0zx(z-x)2dx=z4/6; 当1≤x<2时, FZ(z)=1-2∫z-11dx∫z-x12xydy=1-2∫z-11x[1-(z-x)2]dx=1-8z/3+2z2-z4/6; 当z≥2时,FZ(z)=1. 故 [*]

解析
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