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设函数f在[0,a]上具有二阶导数,且|f”(x)|≤M.f在(0,a)内取得最大值. 试证|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.
设函数f在[0,a]上具有二阶导数,且|f”(x)|≤M.f在(0,a)内取得最大值. 试证|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.
admin
2022-11-23
40
问题
设函数f在[0,a]上具有二阶导数,且|f”(x)|≤M.f在(0,a)内取得最大值.
试证|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.
选项
答案
设f在(0,a)内的点x
0
取得最大值,于是x
0
是f的一个极值点.由于x
0
∈(0,a)并且f存(0,a)内具有二阶导数.根据费马定理,f’(x
0
=0.分别在区间[0,x
0
],[x
0
,a]上对f’(x)应用拉格朗日中值定理,得到 |f’(0)|=|f’(x
0
)-f’(0)|=|f”(ξ
1
)(x
0
-0)|=|f”(ξ
1
)|x
0
,其中ξ
1
∈(0,x
0
), |f’(a)|=|f’(a)-f’(x
0
)|=|f”(ξ
2
)(a-x
0
)|=|f”(ξ
2
)|(a-x
0
),其中ξ
2
∈(x
0
,a),由于|f”(ξ
1
)|≤M,|f”(ξ
2
)|≤M,所以 |f’(0)|+|f’(a)|=|f”(ξ
1
)|x
0
+|f”(ξ
2
)|(a-x
0
)≤Mx
0
+M(a-x
0
)=Ma
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aJgD777K
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考研数学三
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