2. 考研
  3. 设函数f在[0，a]上具有二阶导数，且｜f”(x)｜≤M．f在(0，a)内取得最大值． 试证｜f’(0)｜+｜f’(a)｜≤Ma．

设函数f在[0，a]上具有二阶导数，且｜f”(x)｜≤M．f在(0，a)内取得最大值． 试证｜f’(0)｜+｜f’(a)｜≤Ma．

admin2022-11-23  39
问题 设函数f在[0，a]上具有二阶导数，且｜f”(x)｜≤M．f在(0，a)内取得最大值．
    试证｜f’(0)｜+｜f’(a)｜≤Ma．
选项
答案设f在(0，a)内的点x0取得最大值，于是x0是f的一个极值点．由于x0∈(0，a)并且f存(0，a)内具有二阶导数．根据费马定理，f’(x0=0．分别在区间[0，x0]，[x0，a]上对f’(x)应用拉格朗日中值定理，得到 ｜f’(0)｜=｜f’(x0)-f’(0)｜=｜f”(ξ1)(x0-0)｜=｜f”(ξ1)｜x0，其中ξ1∈(0，x0)， ｜f’(a)｜=｜f’(a)-f’(x0)｜=｜f”(ξ2)(a-x0)｜=｜f”(ξ2)｜(a-x0)，其中ξ2∈(x0，a)，由于｜f”(ξ1)｜≤M，｜f”(ξ2)｜≤M，所以 ｜f’(0)｜+｜f’(a)｜=｜f”(ξ1)｜x0+｜f”(ξ2)｜(a-x0)≤Mx0+M(a-x0)=Ma
解析
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考研数学三

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