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已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32,又知矩阵B满足矩阵方程 [(A)*]一1BA一1=2AB+4E,且A*α=α,其中α=[1,1,一1]T,A*为A的伴随矩阵,求二次型XTBX的表达式.
已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32,又知矩阵B满足矩阵方程 [(A)*]一1BA一1=2AB+4E,且A*α=α,其中α=[1,1,一1]T,A*为A的伴随矩阵,求二次型XTBX的表达式.
admin
2018-04-18
103
问题
已知三元二次型X
T
AX经正交变换化为2y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
,又知矩阵B满足矩阵方程
[(
A)
*
]
一1
BA
一1
=2AB+4E,且A
*
α=α,其中α=[1,1,一1]
T
,A
*
为A的伴随矩阵,求二次型X
T
BX的表达式.
选项
答案
由条件知A的特征值为2,一1,一1,则|A|=2,因为A
*
的特征值为[*],所以A
*
的特征值为1,一2,一2,由已知,α是A
*
关于λ=1的特征向量,也就是α是A关于λ=2的特征向量. 由[*]得2ABA
一1
=2AB+4E,即B=2(E一A)
一1
,则B的特征值为一2,1,1,且Bα=一2α.设B关于λ=1的特征向量为β=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,又B是实对称阵,α与β正交,故x
1
+x
2
一x
3
=0,解出β
1
=[1,一1,0]
T
,β
2
=[1,0,1]
T
,令 [*] 故X
T
BX=一2x
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qtk4777K
0
考研数学二
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