2. 考研
  3. 已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32，又知矩阵B满足矩阵方程 [(A)*]一1BA一1=2AB+4E，且A*α=α，其中α=[1，1，一1]T，A*为A的伴随矩阵，求二次型XTBX的表达式．

已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32，又知矩阵B满足矩阵方程 [(A)*]一1BA一1=2AB+4E，且A*α=α，其中α=[1，1，一1]T，A*为A的伴随矩阵，求二次型XTBX的表达式．

admin2018-04-18  111
问题 已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32，又知矩阵B满足矩阵方程
    [(A)*]一1BA一1=2AB+4E，且A*α=α，其中α=[1，1，一1]T，A*为A的伴随矩阵，求二次型XTBX的表达式．
选项
答案由条件知A的特征值为2，一1，一1，则｜A｜=2，因为A*的特征值为[*]，所以A*的特征值为1，一2，一2，由已知，α是A*关于λ=1的特征向量，也就是α是A关于λ=2的特征向量． 由[*]得2ABA一1=2AB+4E，即B=2(E一A)一1，则B的特征值为一2，1，1，且Bα=一2α．设B关于λ=1的特征向量为β=[x1，x2，x3]T，又B是实对称阵，α与β正交，故x1+x2一x3=0，解出β1=[1，一1，0]T，β2=[1，0，1]T，令 [*] 故XTBX=一2x1x2+2x1x3+2x2x3．
解析
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考研数学二

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