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设A,B为3阶相似矩阵,且| 2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=_________.
设A,B为3阶相似矩阵,且| 2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=_________.
admin
2019-05-19
76
问题
设A,B为3阶相似矩阵,且| 2E+A|=0,λ
1
=1,λ
2
=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=_________.
选项
答案
18
解析
由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知λ=-2为A的一个特征值.由A~B知A和B有相同特征值,因此λ
1
=1,λ
2
=-1也是A的特征值.故A,B的特征值均为λ
1
=1,λ
2
=-1,λ
3
=-2.则有E+2B的特征值为1+2×1=3,1+2×(-1)=-1,1+2×(-2)=-3,从而
|E+2B|=3×(-1)×(-3)=9,|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=2.
故
|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=2×9=18.
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考研数学三
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