设A，B为3阶相似矩阵，且｜ 2E+A｜=0，λ1=1，λ2=－1为B的两个特征值，则行列式｜A+2AB｜=_________．

admin2019-05-19 76

问题设A，B为3阶相似矩阵，且｜ 2E+A｜=0，λ₁=1，λ₂=－1为B的两个特征值，则行列式｜A+2AB｜=_________．

选项

答案18

解析由｜2E+A｜=｜A－(－2E)｜=0知λ=－2为A的一个特征值．由A～B知A和B有相同特征值，因此λ₁=1，λ₂=－1也是A的特征值．故A，B的特征值均为λ₁=1，λ₂=－1，λ₃=－2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(－1)=－1，1+2×(－2)=－3，从而
｜E+2B｜=3×(－1)×(－3)=9，｜A｜=λ₁λ₂λ₃=2．
故
｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=2×9=18．

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