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设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ=g(ξ)∫aξ(χ)dχ.
设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ=g(ξ)∫aξ(χ)dχ.
admin
2018-05-17
46
问题
设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)∫
ξ
b
g(χ)dχ=g(ξ)∫
a
ξ
(χ)dχ.
选项
答案
令φ(χ)=∫
a
χ
f(t)dt∫
b
χ
g(t)dt,显然φ(χ)在[a,b]上可导,又φ(a)=φ(b)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ′(ξ)=0,而φ′(χ)=f(χ)∫
b
χ
g(t)dt+g(χ)∫
a
χ
f(t)dt, 所以f(ξ)∫
b
ξ
g(χ)dχ+g(ξ)∫
a
ξ
f(χ)dχ=0,即f(ξ)∫
ξ
b
g(χ)dχ=g(ξ)∫
a
ξ
f(χ)dχ.
解析
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考研数学二
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