设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξ(χ)dχ．

admin2018-05-17 51

问题设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫_ξ^bg(χ)dχ＝g(ξ)∫_a^ξ(χ)dχ．

选项

答案令φ(χ)＝∫_a^χf(t)dt∫_b^χg(t)dt，显然φ(χ)在[a，b]上可导，又φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝f(χ)∫_b^χg(t)dt＋g(χ)∫_a^χf(t)dt，所以f(ξ)∫_b^ξg(χ)dχ＋g(ξ)∫_a^ξf(χ)dχ＝0，即f(ξ)∫_ξ^bg(χ)dχ＝g(ξ)∫_a^ξf(χ)dχ．

解析

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考研数学二

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已知曲线L的方程为(Ⅰ)讨论L的凹凸性；(Ⅱ)过点(-1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程：(Ⅲ)求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．
设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是()．
(2008年试题，20)(I)证明积分中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，则存在ζ∈[a，b]，使(Ⅱ)若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)>φ(1)证明至少存在一点ζ∈(1，3)，使得φ’’(η)

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