设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξ(χ)dχ．

admin2018-05-17 56

问题设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫_ξ^bg(χ)dχ＝g(ξ)∫_a^ξ(χ)dχ．

选项

答案令φ(χ)＝∫_a^χf(t)dt∫_b^χg(t)dt，显然φ(χ)在[a，b]上可导，又φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝f(χ)∫_b^χg(t)dt＋g(χ)∫_a^χf(t)dt，所以f(ξ)∫_b^ξg(χ)dχ＋g(ξ)∫_a^ξf(χ)dχ＝0，即f(ξ)∫_ξ^bg(χ)dχ＝g(ξ)∫_a^ξf(χ)dχ．

解析

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