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设f(x)在[a,b]上二阶可导且f’’(x)>0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数.
设f(x)在[a,b]上二阶可导且f’’(x)>0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数.
admin
2018-05-23
23
问题
设f(x)在[a,b]上二阶可导且f
’’
(x)>0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数.
选项
答案
对任意的x
1
,x
2
∈(a,b)且x
1
≠x
2
,取x
0
=[*],由泰勒公式得f(x)=f(x
0
)+f
’
(x
0
)(x—x
0
)+[*](x—x
0
)
2
,其中ξ介于x
0
与x之间. 因为f
’’
(x)>0,所以f(x)≥f(x
0
)+f
’
(x
0
)(x—x
0
),“=”成立当且仅当“x=x
0
”, 从而[*] 两式相加得f(x
0
)<[*], 由凹函数的定义,f(x)在(a,b)内为凹函数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rBg4777K
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考研数学一
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