设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (I)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

admin2016-04-11 33

问题设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(一1，2，一1)^T，α₂=(0，一1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解．
(I)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q^TAQ=A．

选项

答案(I)由于矩阵A的各行元素之和均为3，所以 [*] 因为Aα₁=0，Aα₂=0，即 Aα₁=0α₁，Aα₂=0α₂ 故由定义知λ₁=λ₂=0是A的二重特征值，α₁，α₂为A的属于特征值0的两个线性无关特征向量；λ₃=3是A的一个特征值，α₃=(1，1，1)^T为A的属于特征值3的特征向量．总之，A的特征值为0，0，3．属于特征值0的全体特征向量为k₁α₁+k₂α₂(k₁，k₂不全为零)，属于特征值3的全体特征向量为k₃α₃(k₃≠0)． (Ⅱ)对α₁，α₂正交化．令ξ₁=α₁=(一1，2，一1)^T [*]

解析

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考研数学一

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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (I)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

考研数学一

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f"(x)＜0，证明：∫01f(x2)dx≤.

设k为常数，方程kx－+1=0在（0，+∞）内恰有一根，求k的取值范围。

设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求a，b，λ0，的值；

设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫0f(x)g(t)dt=∫0f(x)tsin2t/(sint+cost)dt，求f(π/2)。

设相似于对角矩阵，则a=________。

设y=y(x)由x=∫π/2tet-usinu/3du，y=∫π/2tet-ucos2udu确定，则曲线y=y(x)在t=π/2对应点处的切线方程为________。

求r=4(1+cosθ)与θ=0，θ=π/2围成的图形绕极轴旋转一周所得旋转体的体积。

设正交矩阵，其中A是3阶矩阵，λ≠0，且A2=3A。设x=(x1，x2，x3)T，求方程xTAx=0的全部解。

设f(x)在[0，+∞)上有二阶连续导数，且f"(x)＞0，y=g(x)是曲线y=f(x)在(0，+∞)内任意点x0处的切线方程，记F(x)=f(x)-g(x)，则()

设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t-sint，y=φ(t)=1-cost(0≤t≤2π)。(Ⅰ)求证：由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x)，并求它的定义域；(Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积V。

某项永久性奖学金，每年计划颁发25000元。若年利率为8％，则该奖学金的本金应为__________。

A、Thematchwillbeputoffduetotherain.B、Therainisn’tlikelytoinfluencetheman’steam.C、Theresultofthematchiss

急性糜烂性胃炎的确诊应依据

有关药品生产技术转让的说法，错误的是()。

排钾利尿剂如氢氯噻嗪可致低钾、低氯血症，有诱发心律失常的危险。()

管理层次是指从组织的最高管理者到最基层的实际：工作人员之间的等级层次的数量，一般可分为(　　)。

会计电算化的高级阶段是()。

在《巴塞尔新资本协议》公布之前，巴塞尔委员会发布了()次资本协议征求意见稿。

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (I)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

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设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求a，b，λ0，的值；

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会计电算化的高级阶段是()。

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