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(Ⅰ)验证函数y(x)=(—∞<x<+∞)满足微分方程y"+y’+y=ex; (Ⅱ)求幂级数y(x)=的和函数。
(Ⅰ)验证函数y(x)=(—∞<x<+∞)满足微分方程y"+y’+y=ex; (Ⅱ)求幂级数y(x)=的和函数。
admin
2017-01-21
57
问题
(Ⅰ)验证函数y(x)=
(—∞<x<+∞)满足微分方程y"+y’+y=e
x
;
(Ⅱ)求幂级数y(x)=
的和函数。
选项
答案
(Ⅰ)因为幂级数 [*] 的收敛域是(—∞<x<+∞),因而可在(一∞<x<+∞)上逐项求导数,得 [*] (Ⅱ)与y"+y’+y=e
x
对应的齐次微分方程为y"+y’+y=0,其特征方程为λ
2
+λ+1=0,特征根为λ
1,2
=[*] 因此齐次微分方程的通解为 [*] 设非齐次微分方程的特解为y
*
=Ae
x
,将y
*
代入方程y"+y’+y=e
x
可得 [*] 因此,方程通解为 [*] 当x=0时,有 [*]
解析
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考研数学三
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