2. 考研
  3. 已知3阶矩阵A的特征值为1，2，﹣3，则｜A*＋3A＋2E｜＝__________．

已知3阶矩阵A的特征值为1，2，﹣3，则｜A*＋3A＋2E｜＝__________．

admin2020-06-05  39
问题 已知3阶矩阵A的特征值为1，2，﹣3，则｜A*＋3A＋2E｜＝__________．
选项
答案25
解析 方法一  因为矩阵A的特征值为1，2，﹣ 3，所以｜A｜＝﹣ 6，A*＝｜A｜ A﹣1＝﹣ 6A﹣1，
记φ(A)＝A*＋3A＋2E＝﹣ 6A﹣1＋3A＋2E，则
φ(λ)＝﹣ 6λ＋＋3λ＋2＝＋3λ＋2
于是3阶矩阵φ(A)有特征值
φ(1)＝﹣6＋3＋2＝﹣1，φ(2)＝﹣3＋6＋2＝5，φ(﹣3)＝2－9＋2＝﹣5
所求行列式
｜φ(A)｜＝φ(1)φ(2)φ(﹣3)＝25
所以    ｜A*＋3A＋2E｜＝﹣25
方法二  取A＝diag(1，2，﹣3)，则A*＝-6diag(1，1/2，﹣1/2)＝diag(﹣6，﹣3，2)，进而A*＋3A＋2E＝diag(﹣6＋3×1＋2，﹣3＋3×2＋2，2＋3×(﹣3)＋2)＝diag(﹣1，5，﹣5)
因此
｜A*＋3A＋2E｜＝(﹣1)×5×(﹣5)＝25
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考研数学一

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