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已知3阶矩阵A的特征值为1,2,﹣3,则|A*+3A+2E|=__________.
已知3阶矩阵A的特征值为1,2,﹣3,则|A*+3A+2E|=__________.
admin
2020-06-05
12
问题
已知3阶矩阵A的特征值为1,2,﹣3,则|A
*
+3A+2E|=__________.
选项
答案
25
解析
方法一 因为矩阵A的特征值为1,2,﹣ 3,所以|A|=﹣ 6,A
*
=|A| A
﹣1
=﹣ 6A
﹣1
,
记φ(A)=A
*
+3A+2E=﹣ 6A
﹣1
+3A+2E,则
φ(λ)=﹣ 6λ
+
+3λ+2=
+3λ+2
于是3阶矩阵φ(A)有特征值
φ(1)=﹣6+3+2=﹣1,φ(2)=﹣3+6+2=5,φ(﹣3)=2-9+2=﹣5
所求行列式
|φ(A)|=φ(1)φ(2)φ(﹣3)=25
所以 |A
*
+3A+2E|=﹣25
方法二 取A=diag(1,2,﹣3),则A
*
=-6diag(1,1/2,﹣1/2)=diag(﹣6,﹣3,2),进而A
*
+3A+2E=diag(﹣6+3×1+2,﹣3+3×2+2,2+3×(﹣3)+2)=diag(﹣1,5,﹣5)
因此
|A
*
+3A+2E|=(﹣1)×5×(﹣5)=25
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考研数学一
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