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  3. n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

admin2019-05-15  21
问题 n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的(    )
选项 A、充分必要条件
B、必要而非充分条件
C、充分而非必要条件
D、既非充分也非必要条件
答案B
解析 由A～B，即存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B，故
    ｜λE－B｜＝｜λE－P-1AP｜＝｜P-1(λE－A)P｜
    ＝｜P-1｜｜λE－A｜｜P｜＝｜λE－A｜，
    即A与B有相同的特征值．
    但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似，例如

    虽然A，B有相同的特征值λ1＝λ2＝0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似．
    所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值．所以应选B．
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考研数学一

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