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n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )
n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )
admin
2019-05-15
32
问题
n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )
选项
A、充分必要条件
B、必要而非充分条件
C、充分而非必要条件
D、既非充分也非必要条件
答案
B
解析
由A~B,即存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=B,故
|λE-B|=|λE-P
-1
AP|=|P
-1
(λE-A)P|
=|P
-1
||λE-A||P|=|λE-A|,
即A与B有相同的特征值.
但当A,B有相同特征值时,A与B不一定相似,例如
虽然A,B有相同的特征值λ
1
=λ
2
=0,但由于r(A)≠r(B),A,B不可能相似.
所以,相似的必要条件是A,B有相同的特征值.所以应选B.
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考研数学一
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