2. 考研
  3. （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）一f（a）=f’（ξ）（b—a）。 （Ⅱ）证明：若函数f（x）在x=0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且f’（x）=A，则f+’（0）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）一f（a）=f’（ξ）（b—a）。 （Ⅱ）证明：若函数f（x）在x=0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且f’（x）=A，则f+’（0）

admin2017-12-29  77
问题 （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）一f（a）=f’（ξ）（b—a）。
（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x=0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且f’（x）=A，则f+’（0）存在，且f+’（0）=A。
选项
答案（Ⅰ）作辅助函数φ（x）=f（x）— f（a）一[*]，易验证φ（x）满足： φ（a）=φ（b）；φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且 [*] 根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点ξ，使φ’（ξ）=0，即 [*] 所以f（b）— f（a）=f’（ξ）（b—a）。 （Ⅱ）任取x0∈（0，δ），则函数f（x）满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间（0，x0）内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在[*]，使得 [*] 又由于[*]f’（x）=A，对（*）式两边取x0→0+时的极限 [*] 故f+’（0）存在，且f+’（0）=A。
解析
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考研数学三

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