计算线积分 (y2＋z2)dx＋(z2＋x2)dy＋(x2＋y2)dz，其中c是曲线 x2＋y2＋z2＝2Rx， x2＋y2＋z2＝2ax (z＞0，0＜a＜R)，且按此方向进行，使它在球的外表面上所围区域∑在其左方。

admin2015-11-16 67

问题计算线积分

(y²＋z²)dx＋(z²＋x²)dy＋(x²＋y²)dz，
其中c是曲线
x²＋y²＋z²＝2Rx， x²＋y²＋z²＝2ax (z＞0，0＜a＜R)，
且按此方向进行，使它在球的外表面上所围区域∑在其左方。

选项

答案解由球面方程x²＋y²＋z²＝2Rx，易求得球面法线方向余弦为 [*] 由斯托克斯公式，得 [*] 由于曲面∑关于坐标面xOz对称，而函数f₂(x，y，z)＝y关于变量y为奇函数，因而[*]，而 [*] 其中D_xy为坐标面xOy上x²＋y²＋z²＝2ax所围成的区域，所以原积分＝2πa²。

解析

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考研数学一

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