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  3. n元非齐次线性方程组AX=β如果有解，则解集合的秩为=n—r(A)+1．

n元非齐次线性方程组AX=β如果有解，则解集合的秩为=n—r(A)+1．

admin2017-11-13  43
问题 n元非齐次线性方程组AX=β如果有解，则解集合的秩为=n—r(A)+1．
选项
答案记s=n—r(A)，则本题要说明两点．(1)存在AX=β的s+1个线性无关的解．(2)AX=β的s+2个解一定线性相关． (1)设ξ为(I)的一个解，η1，η2，…，ηs为导出组的基础解系，则ξ不能用η1，η2，…，ηs线性表示，因此ξ，η1，η2，…，ηs线性无关．ξ，ξ+η1，ξ+η2，…，ξ+ηs是(I)的s+1个解，并且它们等价于ξ，η1,η2，…，ηs．于是 r(ξ，ξ+η1，ξ+η2，…，ξ+ηs) =r(ξ，η1，η2，…，ηs) =s+1，因此ξ，ξ+η1，ξ+η2，…，ξ+ηs是(I)的s+1个线性无关的解． (2)AX=β的任何s+2个解都可用ξ，η1，η2，…，ηs这s+1向量线性表示，因此一定线性相关。
解析
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考研数学一

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