已知y1=xex+e2x，y2=xex+e一x，y3=xex+e2x—e一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为________．

admin2016-07-29 66

问题已知y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x+e^一x，y₃=xe^x+e^2x—e^一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为________．

选项

答案y"一y’一2y=(1—2x)e^x．

解析 y₁—y₂=e^2x一e^一x，y₂一y₃=e^一x都是相应齐次方程的解．
而(y₁一y₂)+(y₁—y₃)=e^2x也是齐次方程的解，e^2x与e^一x是两个线性无关的解，而y₂=xe^x+e^一x是非齐次方程的解，从而y₂一e^一x=xe^x也是非齐次方程的解，由e^一xe2^x是齐次方程的解，可知特征根r₁=一1，r₂=2，特征方程为(r+1)(r一2)=0，即r²一r一2=0．设所求非齐次方程为y"一y’一2’，=f(x)．将非齐次解xe^x代入，得
f(x)=(xe^x)^"一(xe^x)^’一2xe^x=(1—2x)e^x
故所求方程为y"一y’一2y=(1—2x)e^x．

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考研数学三

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考研数学三

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将函数分别展开成正弦级数和余弦级数．

求出曲面z＝xy上的点，使这点处的法线垂直于平面x＋3y＋z＋9＝0，并写出这法线的方程．

设空间区域Ω＝｛(x，y，z)｜x2＋y2＋z2≤R2，z≥0)，Ω1＝｛(x，y，z)｜x2＋y2＋z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0｝，则下列选项中正确的是___________．

求下列函数的n阶导数的一般表达式：(1)y＝xn＋a1xn-1＋a2xn－2＋…＋an－1x＋an(a1，a2，…，an都是常数)；(2)y＝sin2x；(3)y＝x－1／x＋1；(4)y＝ln1＋x／1－x．

将下列函数展开成x的幂级数并指出展开式成立的区间：(1)sinhx；(2)ln(2＋x)；；(3)sin2x；(7)(1＋x)e－x；(8)arcsinx．

设函数D={(x．y)丨x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，求

已知f(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=e/n，求函数项级数fn(x)之和．

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根据《治安管理处罚法》的规定，违反治安管理的行为主要由(　　)构成。

设x→0时ax2+bx+c—cosx是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则（）

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