已知y1=xex+e2x,y2=xex+e一x,y3=xex+e2x—e一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为________.

admin2016-07-29  28

问题 已知y1=xex+e2x,y2=xex+e一x,y3=xex+e2x—e一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为________.

选项

答案y"一y’一2y=(1—2x)ex

解析 y1—y2=e2x一e一x,y2一y3=e一x都是相应齐次方程的解.
而(y1一y2)+(y1—y3)=e2x也是齐次方程的解,e2x与e一x是两个线性无关的解,而y2=xex+e一x是非齐次方程的解,从而y2一e一x=xex也是非齐次方程的解,由e一xe2x是齐次方程的解,可知特征根r1=一1,r2=2,特征方程为(r+1)(r一2)=0,即r2一r一2=0.设所求非齐次方程为y"一y’一2’,=f(x).将非齐次解xex代入,得
f(x)=(xex)"一(xex)一2xex=(1—2x)ex
故所求方程为y"一y’一2y=(1—2x)ex
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