2. 考研
  3. 已知y1=xex+e2x，y2=xex+e一x，y3=xex+e2x—e一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为________．

已知y1=xex+e2x，y2=xex+e一x，y3=xex+e2x—e一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为________．

admin2016-07-29  49
问题 已知y1=xex+e2x，y2=xex+e一x，y3=xex+e2x—e一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为________．
选项
答案y"一y’一2y=(1—2x)ex．
解析 y1—y2=e2x一e一x，y2一y3=e一x都是相应齐次方程的解．
而(y1一y2)+(y1—y3)=e2x也是齐次方程的解，e2x与e一x是两个线性无关的解，而y2=xex+e一x是非齐次方程的解，从而y2一e一x=xex也是非齐次方程的解，由e一xe2x是齐次方程的解，可知特征根r1=一1，r2=2，特征方程为(r+1)(r一2)=0，即r2一r一2=0．设所求非齐次方程为y"一y’一2’，=f(x)．将非齐次解xex代入，得
f(x)=(xex)"一(xex)’一2xex=(1—2x)ex
故所求方程为y"一y’一2y=(1—2x)ex．
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考研数学三

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