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已知y1=xex+e2x,y2=xex+e一x,y3=xex+e2x—e一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为________.
已知y1=xex+e2x,y2=xex+e一x,y3=xex+e2x—e一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为________.
admin
2016-07-29
43
问题
已知y
1
=xe
x
+e
2x
,y
2
=xe
x
+e
一x
,y
3
=xe
x
+e
2x
—e
一x
是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为________.
选项
答案
y"一y’一2y=(1—2x)e
x
.
解析
y
1
—y
2
=e
2x
一e
一x
,y
2
一y
3
=e
一x
都是相应齐次方程的解.
而(y
1
一y
2
)+(y
1
—y
3
)=e
2x
也是齐次方程的解,e
2x
与e
一x
是两个线性无关的解,而y
2
=xe
x
+e
一x
是非齐次方程的解,从而y
2
一e
一x
=xe
x
也是非齐次方程的解,由e
一x
e2
x
是齐次方程的解,可知特征根r
1
=一1,r
2
=2,特征方程为(r+1)(r一2)=0,即r
2
一r一2=0.设所求非齐次方程为y"一y’一2’,=f(x).将非齐次解xe
x
代入,得
f(x)=(xe
x
)
"
一(xe
x
)
’
一2xe
x
=(1—2x)e
x
故所求方程为y"一y’一2y=(1—2x)e
x
.
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考研数学三
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