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  3. 已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是

已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是

admin2015-05-07  34
问题 已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是
选项 A、如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关
B、如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α2，α4也线性相关
C、如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则α1可以由α2，α3，α4线性表出
D、如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出
答案B
解析 例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知(B)不正确．应选(B)．
    关于(A)：如果α1，α2，α3线性无关，又因α1，α2，α3，α4是4个3维向量，它们必线性相关，而
    知α4必可由α1，α2，α3线性表出．
    关于(C)：由已知条件，有
    (Ⅰ) r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，  (Ⅱ)  r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)．
    若r(α2，α3)=1，则必有r(1，α2)=r(α1，α2，α3)，与条件(Ⅰ)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那
    么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，从而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以由α2，α3，α4线性表出．
    关于(D)：经初等变换有
    (α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2+α3)→(α1，α2，α3)，
    (α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，
    从而    r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)．
    因而α4可以由α1，α2，α3线性表出．
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