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考研
证明:矩阵相似且合同.
证明:矩阵相似且合同.
admin
2021-07-27
86
问题
证明:矩阵
相似且合同.
选项
答案
由[*]解得A的特征值为λ=0(二重)和λ=3.类似地,由[*]解得B的特征值为λ=0(二重)和λ=3,知两矩阵有相同特征值.因为A,B同为实对称矩阵,又有相同的特征值,因此,它们均相似于由特征值0,0,3构造的同一个对角矩阵A.即存在正交矩阵(也即可逆矩阵)Q
1
,Q
2
,使得Q
1
-1
AQ
1
=Q
2
-1
BQ
2
=A,由于Q
1
,Q
2
为正交矩阵,因此Q
2
Q
1
-1
仍为正交矩阵,记为P=Q
1
Q
1
-1
,则有A=P
-1
BP,即证矩阵A和B相似,又因P=Q
2
Q
1
-1
为正交矩阵,满足P
-1
=P
T
,所以同时有等式A=P
T
BP,即证A和B合同.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vGy4777K
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考研数学二
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