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  3. 证明：矩阵相似且合同．

证明：矩阵相似且合同．

admin2021-07-27  59
问题 证明：矩阵相似且合同．
选项
答案由[*]解得A的特征值为λ=0(二重)和λ=3．类似地，由[*]解得B的特征值为λ=0(二重)和λ=3，知两矩阵有相同特征值．因为A，B同为实对称矩阵，又有相同的特征值，因此，它们均相似于由特征值0，0，3构造的同一个对角矩阵A．即存在正交矩阵(也即可逆矩阵)Q1，Q2，使得Q1-1AQ1=Q2-1BQ2=A，由于Q1，Q2为正交矩阵，因此Q2Q1-1仍为正交矩阵，记为P=Q1Q1-1，则有A=P-1BP，即证矩阵A和B相似，又因P=Q2Q1-1为正交矩阵，满足P-1=PT，所以同时有等式A=PTBP，即证A和B合同．
解析
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考研数学二

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