证明：矩阵相似且合同．

admin2021-07-27 77

问题证明：矩阵

相似且合同．

选项

答案由[*]解得A的特征值为λ=0(二重)和λ=3．类似地，由[*]解得B的特征值为λ=0(二重)和λ=3，知两矩阵有相同特征值．因为A，B同为实对称矩阵，又有相同的特征值，因此，它们均相似于由特征值0，0，3构造的同一个对角矩阵A．即存在正交矩阵(也即可逆矩阵)Q₁，Q₂，使得Q₁^-1AQ₁=Q₂^-1BQ₂=A，由于Q₁，Q₂为正交矩阵，因此Q₂Q₁^-1仍为正交矩阵，记为P=Q₁Q₁^-1，则有A=P^-1BP，即证矩阵A和B相似，又因P=Q₂Q₁^-1为正交矩阵，满足P^-1=P^T，所以同时有等式A=P^TBP，即证A和B合同．

解析

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