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(2000年)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是 P1=18—2Q1,P2=12一Q2,其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位
(2000年)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是 P1=18—2Q1,P2=12一Q2,其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位
admin
2018-04-17
33
问题
(2000年)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是
P
1
=18—2Q
1
,P
2
=12一Q
2
,其中P
1
和P
2
分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),Q
1
和Q
2
分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位:吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5,其中Q表示该产品在两个市场的销售总量,即Q=Q
1
+Q
2
。
(I)如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润;
(Ⅱ)如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格,使该企业的总利润最大化;并比较两种价格策略下的总利润大小。
选项
答案
记总利润函数为L,总收益函数为R,则总利润=总收益一总成本。 L=R—C=P
1
Q
1
+P
2
Q
2
一(2Q+5)=P
1
Q
1
+P
2
Q
2
一[2(Q
1
+Q
2
)+5] =(18—2Q
1
)Q
1
+(12一Q
2
)Q
2
一[2(Q
1
+Q
2
)+5] =18Q
1
一2Q
1
2
+12Q
2
一Q
2
2
一2Q
1
一2Q
2
一5 =一2Q
1
2
—Q
2
2
+16Q
1
+10Q
2
一5, 其中,Q
1
>0,Q
2
>0,Q=Q
1
+Q
2
为销售总量。 (I)令[*]=一2Q
2
+10=0,解得Q
1
=4,Q
2
=5。而P
1
=18—2Q
1
,P
2
=12一Q
2
,故相应地P
1
=10,P
2
=7。 在Q
1
>0,Q
2
>0的范围内驻点唯一,且实际问题在Q
1
>0,Q
2
>0范围内必有最大值,故在Q
1
=4,Q
2
=5处L为最大值。 maxL=一2×4
2
一5
2
+16×4+10×5—5=52(万元)。 (Ⅱ)若两地的销售单价无差别,即P
1
=P
2
,于是18—2Q
1
=12一Q
2
,得2Q
1
一Q
2
=6,若求函数=ff(x,y)在条件φ(x,y)=0的最大值或最小值,用拉格朗日乘数法:先构造辅助函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),然后解方程组 [*] 所有满足此方程组的解(x,y,λ)中的(x,y)是z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0的可能极值点,在可能极值点中求得最大值点或最小值点。 故用拉格朗日乘数法,其中φ(Q
1
,Q
2
)=2Q
1
一Q
2
—6=0,构造函数 F(Q
1
,Q
2
,λ)=一2Q
1
2
一Q
2
2
+16Q
1
+10Q
2
—5+λ(2Q
1
一Q
2
—6), 令 [*] 解得Q
1
=5,Q
2
=4,在Q
1
>0,Q
2
>0的范围内驻点唯一,且实际问题在Q
1
>0,Q
2
>0范围内必有最大值,故在Q
1
=4,Q
2
=5处L取最大值。得 maxL=-2×5
2
一4
2
+16×5+10×4—5=49(万元)。
解析
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考研数学三
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