(2000年)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是 P1=18—2Q1,P2=12一Q2,其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位

admin2018-04-17  32

问题 (2000年)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是
    P1=18—2Q1,P2=12一Q2,其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位:吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5,其中Q表示该产品在两个市场的销售总量,即Q=Q1+Q2
    (I)如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润;
    (Ⅱ)如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格,使该企业的总利润最大化;并比较两种价格策略下的总利润大小。

选项

答案记总利润函数为L,总收益函数为R,则总利润=总收益一总成本。 L=R—C=P1Q1+P2Q2一(2Q+5)=P1Q1+P2Q2一[2(Q1+Q2)+5] =(18—2Q1)Q1+(12一Q2)Q2一[2(Q1+Q2)+5] =18Q1一2Q12+12Q2一Q22一2Q1一2Q2一5 =一2Q12—Q22+16Q1+10Q2一5, 其中,Q1>0,Q2>0,Q=Q1+Q2为销售总量。 (I)令[*]=一2Q2+10=0,解得Q1=4,Q2=5。而P1=18—2Q1,P2=12一Q2,故相应地P1=10,P2=7。 在Q1>0,Q2>0的范围内驻点唯一,且实际问题在Q1>0,Q2>0范围内必有最大值,故在Q1=4,Q2=5处L为最大值。 maxL=一2×42一52+16×4+10×5—5=52(万元)。 (Ⅱ)若两地的销售单价无差别,即P1=P2,于是18—2Q1=12一Q2,得2Q1一Q2=6,若求函数=ff(x,y)在条件φ(x,y)=0的最大值或最小值,用拉格朗日乘数法:先构造辅助函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),然后解方程组 [*] 所有满足此方程组的解(x,y,λ)中的(x,y)是z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0的可能极值点,在可能极值点中求得最大值点或最小值点。 故用拉格朗日乘数法,其中φ(Q1,Q2)=2Q1一Q2—6=0,构造函数 F(Q1,Q2,λ)=一2Q12一Q22+16Q1+10Q2—5+λ(2Q1一Q2—6), 令 [*] 解得Q1=5,Q2=4,在Q1>0,Q2>0的范围内驻点唯一,且实际问题在Q1>0,Q2>0范围内必有最大值,故在Q1=4,Q2=5处L取最大值。得 maxL=-2×52一42+16×5+10×4—5=49(万元)。

解析
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