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  3. (2000年)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 P1=18—2Q1，P2=12一Q2，其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元／吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位

(2000年)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 P1=18—2Q1，P2=12一Q2，其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元／吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位

admin2018-04-17  51
问题 (2000年)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是
    P1=18—2Q1，P2=12一Q2，其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元／吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=Q1+Q2。
    (I)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
    (Ⅱ)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。
选项
答案记总利润函数为L，总收益函数为R，则总利润=总收益一总成本。 L=R—C=P1Q1+P2Q2一(2Q+5)=P1Q1+P2Q2一[2(Q1+Q2)+5] =(18—2Q1)Q1+(12一Q2)Q2一[2(Q1+Q2)+5] =18Q1一2Q12+12Q2一Q22一2Q1一2Q2一5 =一2Q12—Q22+16Q1+10Q2一5， 其中，Q1＞0，Q2＞0，Q=Q1+Q2为销售总量。 (I)令[*]=一2Q2+10=0，解得Q1=4，Q2=5。而P1=18—2Q1，P2=12一Q2，故相应地P1=10，P2=7。 在Q1＞0，Q2＞0的范围内驻点唯一，且实际问题在Q1＞0，Q2＞0范围内必有最大值，故在Q1=4，Q2=5处L为最大值。 maxL=一2×42一52+16×4+10×5—5=52(万元)。 (Ⅱ)若两地的销售单价无差别，即P1=P2，于是18—2Q1=12一Q2，得2Q1一Q2=6，若求函数=ff(x，y)在条件φ(x，y)=0的最大值或最小值，用拉格朗日乘数法：先构造辅助函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，然后解方程组 [*] 所有满足此方程组的解(x，y，λ)中的(x，y)是z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0的可能极值点，在可能极值点中求得最大值点或最小值点。 故用拉格朗日乘数法，其中φ(Q1，Q2)=2Q1一Q2—6=0，构造函数 F(Q1，Q2，λ)=一2Q12一Q22+16Q1+10Q2—5+λ(2Q1一Q2—6)， 令 [*] 解得Q1=5，Q2=4，在Q1＞0，Q2＞0的范围内驻点唯一，且实际问题在Q1＞0，Q2＞0范围内必有最大值，故在Q1=4，Q2=5处L取最大值。得 maxL=-2×52一42+16×5+10×4—5=49(万元)。
解析
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考研数学三

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