求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

admin2016-10-24 49

问题求二元函数z=f(x，y)=x²y(4一x一y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

选项

答案(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值，在L₁:y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L₂:x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L₃：6=x(0≤x≤6)上，z=一2x²(6一x)一2x³—12x²，由[*]=6x²—24x=0得x=4，因为f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=一64，所以 f(x，y)在L₃上最小值为一64，最大值为0． (2)在区域D内，由 [*] 得驻点为(2，1)， [*] 因为AC一B²＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大点，极大值为f(2，1)=4，故z=f(x，y)在D上的最小值为m=f(4，2)一64，最大值为M=f(2，1)=4．

解析

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考研数学三

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证明[*]
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将函数分别展开成正弦级数和余弦级数．
利用函数的凹凸性，证明下列不等式：
求出曲面z＝xy上的点，使这点处的法线垂直于平面x＋3y＋z＋9＝0，并写出这法线的方程．
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