2. 考研
  3. 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=—α1— 3α2— 3α3．Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=—2α1+3α3． ①求A的特征值． ②求A的特征向量， ③求A*—6E的秩．

已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=—α1— 3α2— 3α3．Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=—2α1+3α3． ①求A的特征值． ②求A的特征向量， ③求A*—6E的秩．

admin2017-11-22  54
问题 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足
Aα1=—α1— 3α2— 3α3．Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=—2α1+3α3．
①求A的特征值．
②求A的特征向量，
③求A*—6E的秩．
选项
答案①记P=（α1，α2，α3），因为α1，α2，α3是线性无关，所以P是可逆矩阵． AP=（Aα1，Aα2，Aα3）=（一α1— 3α2— 3α3，4α1+4α2+α3，— 2α1+3α3） =（α1，α2，α3）[*]（此处用了矩阵分解） 记[*] 则AP=PB，即P—1AP=B，A与B相似，特征值一样． 求B的特征多项式 [*] 得A的特征值为1，2，3． ②先求B的特征向量，用P左乘之得到A的特征向量．（如果Bη=λη，则P—1APη=λη，即A(Pη)=A(Pη)．) 对于特征值1： [*] B的属于特征值1的特征向量（即（B—E）x=0的非零解）为c(1，1，1)T，c≠0． 则A的属于特征值1的特征向量为c（α1+α2+α3）T，c≠0． 对于特征值2： [*] B的属于特征值2的特征向量（即（B— 2E）x=0的非零解）为c(2，3，3)T，c≠0．则A的属于特征值2的特征向量为c（2α1+3α2+3α3）T，c≠0． 对于特征值3： [*] B的属于特征值3的特征向量（即（B—3E）x=0的非零解）为c(1，3，4)T，c≠0． 则A的属于特征值3的特征向量为c（α1+3α2+4α3）T，c≠0． ③由A的特征值为1，2，3，|A|=6．于是A*的特征值为6，3，2，A*— 6E的特征值为0，—3．—4． 于是A*— 6E[*]r(A*— 6E) = 2．
解析
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考研数学三

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