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已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足 Aα1=—α1— 3α2— 3α3.Aα2=4α1+4α2+α3,Aα3=—2α1+3α3. ①求A的特征值. ②求A的特征向量, ③求A*—6E的秩.
已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足 Aα1=—α1— 3α2— 3α3.Aα2=4α1+4α2+α3,Aα3=—2α1+3α3. ①求A的特征值. ②求A的特征向量, ③求A*—6E的秩.
admin
2017-11-22
49
问题
已知A是3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量组,满足
Aα
1
=—α
1
— 3α
2
— 3α
3
.Aα
2
=4α
1
+4α
2
+α
3
,Aα
3
=—2α
1
+3α
3
.
①求A的特征值.
②求A的特征向量,
③求A
*
—6E的秩.
选项
答案
①记P=(α
1
,α
2
,α
3
),因为α
1
,α
2
,α
3
是线性无关,所以P是可逆矩阵. AP=(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(一α
1
— 3α
2
— 3α
3
,4α
1
+4α
2
+α
3
,— 2α
1
+3α
3
) =(α
1
,α
2
,α
3
)[*](此处用了矩阵分解) 记[*] 则AP=PB,即P
—1
AP=B,A与B相似,特征值一样. 求B的特征多项式 [*] 得A的特征值为1,2,3. ②先求B的特征向量,用P左乘之得到A的特征向量.(如果Bη=λη,则P
—1
APη=λη,即A(Pη)=A(Pη).) 对于特征值1: [*] B的属于特征值1的特征向量(即(B—E)x=0的非零解)为c(1,1,1)
T
,c≠0. 则A的属于特征值1的特征向量为c(α
1
+α
2
+α
3
)
T
,c≠0. 对于特征值2: [*] B的属于特征值2的特征向量(即(B— 2E)x=0的非零解)为c(2,3,3)
T
,c≠0.则A的属于特征值2的特征向量为c(2α
1
+3α
2
+3α
3
)
T
,c≠0. 对于特征值3: [*] B的属于特征值3的特征向量(即(B—3E)x=0的非零解)为c(1,3,4)
T
,c≠0. 则A的属于特征值3的特征向量为c(α
1
+3α
2
+4α
3
)
T
,c≠0. ③由A的特征值为1,2,3,|A|=6.于是A
*
的特征值为6,3,2,A
*
— 6E的特征值为0,—3.—4. 于是A
*
— 6E[*]r(A
*
— 6E) = 2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rnX4777K
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考研数学三
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