沿f(χ)=在χ=0处二阶导数存在,则常数a,b分别是

admin2022-01-17  38

问题 沿f(χ)=在χ=0处二阶导数存在,则常数a,b分别是

选项 A、a=1,b=1.
B、a=1,b=
C、a=1,b=2.
D、a=2,b=1.

答案B

解析 我们考虑分段函数

    其中f1(χ)和f2(χ)均在χ=χ0邻域k阶可导,则f(χ)在分界点χ=χ0有k阶导数的充要条件是f1(χ)和f2(χ)有χ=χ0有相同的k阶泰勒公式:
    f1(χ)=f2(χ)
    =a0+a1(χ-χ0)+a2(χ-χ0)2+…+a(χ-χ0)k+o((χ-χ0)k)(χ→χ0)
    把这一结论用于本题:取χ0=0.
    f1(χ)=1+aχ+χ2
    f2(χ)=eχ+bsinχ2
    =1+χ+χ2+o(χ2)+b(χ2+o(χ2))
    =1+χ+(b+2+o(χ2).
    因此f(χ)在χ=0时二阶可导
    a=1,b+=1即a=1,b=
    故选B.
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