设A为3阶实对称矩阵，又B为3阶不可逆矩阵，B≠0，AB－2B＝0，又tr(A)＝3，则｜A＋3E｜＝( )．

admin2021-03-18 27

问题设A为3阶实对称矩阵，又B为3阶不可逆矩阵，B^*≠0，AB－2B＝0，又tr(A)＝3，则｜A^*＋3E｜＝( )．

选项 A、7
B、4
C、－7
D、－4

答案A

解析由r(B)＜3得r(B^*)＝0或1，
因为B^*≠0，所以r(B^*)＝1，于是r(B)＝2；
由AB－2B＝0得(2E－A)B＝0，
因为λ＝2为矩阵A的特征值，又因为r(B)＝2，
所以λ＝2为矩阵A的二重特征值，即λ₁＝λ₂＝2，再由tr(A)＝3得λ₃＝－1，
由｜A｜＝－4得A^*的特征值为－2，－2，4，所以A^*＋3E的特征值为1，1，7，
故｜A^*＋3E｜＝7，应选A

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