(2012年)设函数_f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n为正整数，则f’(0)=

admin2019-05-06 40

问题 (2012年)设函数_f(x)=(e^x一1)(e^2x一2)…(e^nx一n)，其中n为正整数，则f’(0)=

选项 A、(一1)^n-1一(n一1)!
B、(一1)ⁿ(n一1)!
C、(一1)^n-1n!
D、(一1)ⁿn!

答案A

解析解1  记g(x)=(e^2x一2)(e^3x一3)…(e^nx一n)，则
               f(x)=(e^x一1)g(x)
            f’(x)=e^xg(x)+(e^x一1)g’(x)
则 f’(0)=g(0)=(一1)(一2)…(一(n一1))=(一1)^n-1(n一1)!
故应选(A)．
△解2  由导数定义得

△解3 排除法：当n=2时，f(x)=(e^x一1)(e^2x一2)
f’(x)=e^x(e^2x一2)+2e^2x(e^x一1)，f’(0)=一1
显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)．

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