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  3. 设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2018-04-15  99
问题 设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
选项
答案必要性：设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即 (Bx)TA(Bx)＞0 于是Bx≠0．因此，取=0只有零解，从而有r(B)=n． 充分性：因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为实对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意实n维列向量x≠0．有Bx≠0．又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)=xT(BTAB)x＞0．于是当x≠0时，xT(BTAB)x＞0．故BTAB为正定矩阵．
解析
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考研数学一

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