2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]二阶可导，且|f(0)|≤a，|f(1)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有

设f(x)在[0，1]二阶可导，且|f(0)|≤a，|f(1)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有

admin2017-10-19  39
问题 设f(x)在[0，1]二阶可导，且|f(0)|≤a，|f(1)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有
           
选项
答案考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：[*]有 f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+[*]f"(ξ)(x-c)2， (*) 其中ξ=c+θ(x一c)，0＜θ＜1． 在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f’(c)(一c)+[*]f"(ξ)c2，0＜ξ1＜c＜1； 在(*)式中，令x=1，得 f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+[*]f"(ξ2)(1一c)2，0＜c<ξ2＜1． 上面两式相减得 f(1)一f(0)=f’(c)+[*][f"(ξ2)(1一c)2一f"(ξ1)c2]． 从而f’(c)=f(1)一f(0)+[*][f"(ξ1)c2一f"(ξ2)(1一c)2]，两端取绝对值并放大即得 [*] 其中利用了对任何c∈(0，1)有(1一c)2≤1—c，c2≤c，于是(1一c)2+c2≤1．
解析
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考研数学三

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