2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二次可导，且f(x)在[0，1]上的最大值M=2，最小值m=0，求证：若f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0，1)内的点，则在(0，1)内必存在两点ξ与η，使得｜f’(ξ)｜＞2，｜f"(η)｜＞4成

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二次可导，且f(x)在[0，1]上的最大值M=2，最小值m=0，求证：若f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0，1)内的点，则在(0，1)内必存在两点ξ与η，使得｜f’(ξ)｜＞2，｜f"(η)｜＞4成

admin2015-04-30  72
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二次可导，且f(x)在[0，1]上的最大值M=2，最小值m=0，求证：若f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0，1)内的点，则在(0，1)内必存在两点ξ与η，使得｜f’(ξ)｜＞2，｜f"(η)｜＞4成立．
选项
答案由题设知，存在x1，x2∈[0，1]，使得f(x1)=M=2，f(x2)=m=0． 由拉格朗日中值定理知，在x1与x2之间存在一点ξ，使得 [*] 因f(x1)一f(x2)=2—0=2，又｜x2一x1 ｜＜1，故 [*] 为了确定起见，我们可设f(x)在[0，1]上的最大值M在(0，1)内的点x1处取得，而f(x)在[0，1]上的最小值m在[0，1]上的某点x2≠x1取得.因x1∈(0，1)，又f(x1)=[*]=2，故 f’(x1)=0． 将f(x2)在x=x1展开成一阶泰勒公式，得 f(x2)=f(x1)+f’(x1)(x2一x1)+[*]f"(η)(x2一x1)2，其中η在x1与x2之间，故η∈(0，1)．将函数值f(x2)=0，f(x1)=2，f’(x1)=0代入上式 [*] 若m=f(x2)且x2∈(0，1)，可类似证明．
解析
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考研数学二

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