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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二次可导,且f(x)在[0,1]上的最大值M=2,最小值m=0,求证:若f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0,1)内的点,则在(0,1)内必存在两点ξ与η,使得|f’(ξ)|>2,|f"(η)|>4成
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二次可导,且f(x)在[0,1]上的最大值M=2,最小值m=0,求证:若f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0,1)内的点,则在(0,1)内必存在两点ξ与η,使得|f’(ξ)|>2,|f"(η)|>4成
admin
2015-04-30
49
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二次可导,且f(x)在[0,1]上的最大值M=2,最小值m=0,求证:若f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0,1)内的点,则在(0,1)内必存在两点ξ与η,使得|f’(ξ)|>2,|f"(η)|>4成立.
选项
答案
由题设知,存在x
1
,x
2
∈[0,1],使得f(x
1
)=M=2,f(x
2
)=m=0. 由拉格朗日中值定理知,在x
1
与x
2
之间存在一点ξ,使得 [*] 因f(x
1
)一f(x
2
)=2—0=2,又|x
2
一x
1
|<1,故 [*] 为了确定起见,我们可设f(x)在[0,1]上的最大值M在(0,1)内的点x
1
处取得,而f(x)在[0,1]上的最小值m在[0,1]上的某点x
2
≠x
1
取得.因x
1
∈(0,1),又f(x
1
)=[*]=2,故 f’(x
1
)=0. 将f(x
2
)在x=x
1
展开成一阶泰勒公式,得 f(x
2
)=f(x
1
)+f’(x
1
)(x
2
一x
1
)+[*]f"(η)(x
2
一x
1
)
2
,其中η在x
1
与x
2
之间,故η∈(0,1).将函数值f(x
2
)=0,f(x
1
)=2,f’(x
1
)=0代入上式 [*] 若m=f(x
2
)且x
2
∈(0,1),可类似证明.
解析
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考研数学二
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