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设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=0.证明:r(A)+r(B)≤n.
设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=0.证明:r(A)+r(B)≤n.
admin
2016-10-24
40
问题
设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=0.证明:r(A)+r(B)≤n.
选项
答案
令B=(β
1
,β
2
,…,β
s
),因为AB=0,所以B的列向量组β
1
,β
2
,…,β
s
为方程组AX=0的一组解,而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n一r(A),所以向量组β
1
,β
2
,…,β
s
的秩不超过n一r(A),又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等,因此r(B)≤n一r(A),即r(A)+r(B)≤n.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/s7T4777K
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考研数学三
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证明[*]
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