设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+),)=f(x)ey+f(y)ex,又设f’(0)存在且等于a(a≠0),试证明对任意x,f’(x)都存在,并求f(x)。

admin2017-01-21  43

问题 设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+),)=f(x)ey+f(y)ex,又设f’(0)存在且等于a(a≠0),试证明对任意x,f’(x)都存在,并求f(x)。

选项

答案将x=y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,得f(0)=0,为证明f’(x)存在,则由导数的定义 [*] =f(x)+f’(0)ex=f(x)+aex。 所以对任意x,f’(x)都存在,且f’(x)=f(x)+aex。 解此一阶线性微分方程,得 f(x)=efdxaexe—∫dx+C]=ex(ax+C), 又因f(0)=0,得C=0,所以f(x)=axex

解析
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