设有微分方程y’-2y=φ(x),其中φ(x)=试求:在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.

admin2018-06-15  32

问题 设有微分方程y’-2y=φ(x),其中φ(x)=试求:在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.

选项

答案这是一个一阶线性非齐次微分方程,由于其自由项为分段函数,所以应分段求解,并且为保持其连续性,还应将其粘合在一起. 当x<1时,方程y’-2y=2的两边同乘e-2x得(ye-2x)’=2e-2x,积分得通解y=C1e2x-1; 而当x>1时,方程y’-2y=0的通解为y=C2e2x. 为保持其在x=1处的连续性,应使C1e2-1=C2e2,即C2=C1-e-2,这说明方程的通解为 [*] 再根据初始条件,即得C1=1,即所求特解为 [*]

解析
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