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设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足关系式xf(x)=x4-3x3+4+∫2xf(t)dt,求f’(x)和f(x).
设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足关系式xf(x)=x4-3x3+4+∫2xf(t)dt,求f’(x)和f(x).
admin
2022-06-08
43
问题
设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足关系式xf(x)=
x
4
-3x
3
+4+∫
2
x
f(t)dt,求f’(x)和f(x).
选项
答案
将所给关系式两端同对关于x求导,可得 f(x)+xf’(x)=6x
3
-6x+f(x), 因此 xf’(x)=6x
3
-6x, f’(x)=6x
2
-6, f(x)=∫f’(x)dx=∫(6x
2
-6)dx=2x
3
-6x+C.(*) 依题设,有xf(x)=[*]x
4
-3x
2
+4+∫
2
x
f(t)dt,令x=2可得 2f(2)=24-12+4=16,f(2)=8. 将x=2代入(*)式,有f(2)=16-12+C,所以 C=4,f(x)=2x
3
-6x+4.
解析
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经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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