设f(x)在(－∞，+∞)内可导，且满足关系式xf(x)=x4－3x3+4+∫2xf(t)dt，求f’(x)和f(x)．

admin2022-06-08 46

问题设f(x)在(－∞，+∞)内可导，且满足关系式xf(x)=

x⁴－3x³+4+∫₂^xf(t)dt，求f’(x)和f(x)．

选项

答案将所给关系式两端同对关于x求导，可得 f(x)+xf’(x)=6x³－6x+f(x)，因此 xf’(x)=6x³－6x， f’(x)=6x²－6， f(x)=∫f’(x)dx=∫(6x²－6)dx=2x³－6x+C．(*) 依题设，有xf(x)=[*]x⁴－3x²+4+∫₂^xf(t)dt，令x=2可得 2f(2)=24－12+4=16，f(2)=8．将x=2代入(*)式，有f(2)=16－12+C，所以 C=4，f(x)=2x³－6x+4．

解析

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本试题收录于：经济类联考综合能力题库专业硕士分类