已知非齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,其中 则a=_______。

admin2019-07-17  47

问题 已知非齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,其中

则a=_______。

选项

答案1

解析 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解。对(Ⅰ)求出其通解为
(3,2,0)T+k(3,—1,1)T,k为任意常数,
于是把x1=3+3k,x2=2—k,x3=k代入方程组(Ⅱ),有

因为k为任意常数,故a=1。
此时方程组(Ⅰ)的解全是方程组(Ⅱ)的解。且当a=1时,方程组(Ⅱ)为

由方程组(Ⅱ)的系数矩阵A2=得秩R(A2)=2,则根据非齐次线性方程组解的结构知(Ⅱ)的通解形式为α+kη。易知α=(3,2,0)T是A2x=b的一个特解,η=(3,—1,1)T是A2x=0的一个非零解。所以(Ⅰ)与(Ⅱ)必同解。
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