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已知非齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,其中 则a=_______。
已知非齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,其中 则a=_______。
admin
2019-07-17
71
问题
已知非齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,其中
则a=_______。
选项
答案
1
解析
方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解。对(Ⅰ)求出其通解为
(3,2,0)
T
+k(3,—1,1)
T
,k为任意常数,
于是把x
1
=3+3k,x
2
=2—k,x
3
=k代入方程组(Ⅱ),有
因为k为任意常数,故a=1。
此时方程组(Ⅰ)的解全是方程组(Ⅱ)的解。且当a=1时,方程组(Ⅱ)为
由方程组(Ⅱ)的系数矩阵A
2
=
得秩R(A
2
)=2,则根据非齐次线性方程组解的结构知(Ⅱ)的通解形式为α+kη。易知α=(3,2,0)
T
是A
2
x=b的一个特解,η=(3,—1,1)
T
是A
2
x=0的一个非零解。所以(Ⅰ)与(Ⅱ)必同解。
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考研数学二
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