2. 考研
  3. 已知平面上三条直线的方程为 l1＝aχ＋2by＋3c＝0， l2＝bχ＋2cy＋3a＝0， l3＝cχ＋2ay＋3b＝0． 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

已知平面上三条直线的方程为 l1＝aχ＋2by＋3c＝0， l2＝bχ＋2cy＋3a＝0， l3＝cχ＋2ay＋3b＝0． 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

admin2016-10-21  48
问题 已知平面上三条直线的方程为
    l1＝aχ＋2by＋3c＝0，
    l2＝bχ＋2cy＋3a＝0，
    l3＝cχ＋2ay＋3b＝0．
    试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．
选项
答案l1，l2，l3交于一点即方程组[*]有唯一解，即系数矩阵的秩＝增广矩阵的秩＝2． 记[*] 则方程组系数矩阵的秩＝r(A)，增广矩阵的秩＝r(B)，于是l1，l2，l3交于一点，则r(A)＝r(B)＝2． 必要性 由于r(B)＝2，则｜B｜＝0．计算出 ｜B｜＝－(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) ＝－[*](a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]． a，b，c不会都相等(否则r(A)＝1)，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0．得a＋b＋c＝0． 充分性 当a＋b＋c＝0时，｜B｜＝0，于是r(A)≤r(B)≤2．只用再证r(A)＝2，就可得到 r(A)＝r(B)＝2． 用反证法．若r(A)＜2，则A的两个列向量线性相关．不妨设第2列是第1列的λ倍，则b＝λa，c＝λb，a＝λc．于是λ3a＝a，λ3b＝b，λ3c＝c，由于a，b，c不能都为0，得λ3＝1，即λ＝1，于是a＝b＝c．再由a＋b＋c＝0，得a＝b＝c＝0，这与直线方程中未知数的系数不全为0矛盾．
解析
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考研数学二

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