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设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=f(k)-∫1nf(x)dx(n=1,2,…),证明数列{an}的极限存在。
设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=f(k)-∫1nf(x)dx(n=1,2,…),证明数列{an}的极限存在。
admin
2018-04-14
65
问题
设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,a
n
=
f(k)-∫
1
n
f(x)dx(n=1,2,…),证明数列{a
n
}的极限存在。
选项
答案
利用单调有界必有极限的准则来证明。先将a
n
形式化简,因为 ∫
1
n
f(x)dx=∫
1
2
f(x)dx+∫
2
3
f(x)dx+…+∫
n-1
n
f(x)dx=[*]∫
k
k+1
f(x)dx, 所以a
n
[*] =[*]∫
k
k+1
[f(k)-f(x)]dx+f(n), 又因为f(x)单调减少且非负,k≤x≤k+1,所以有 [*] 故a
n
≥0; 又因为 a
n+1
-a
n
=[[*]f(k)-∫
1
n+1
f(x)dx]-[[*]f(k)-∫
1
n
f(x)dx] =[[*]f(k)]-[∫
1
n+1
f(x)dx-∫
1
n
f(x)dx] =f(n+1)-∫
n
n+1
f(x)dx=∫
n
n+1
[f(n+1)-f(x)]dx≤0, 所以{a
n
}单调减少,因为单调有界数列必有极限,所以[*]a
n
存在。
解析
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考研数学二
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