2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准型为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准型为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

admin2017-02-21  30
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准型为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案f(x1，x2，x3)=XTAX，其中A=[*] 由于f(x1，x2，x3)=XTAX经正交变换后，得到的标准形为λ1y12+λ2y22， 故r(A)=2[*]a=2， 将a=2代入，满足r(A)=2，因此a=2符合题意，此时A=[*]，则 |λE-A|=[*]λ1=-3，λ2=0，λ3=6， 由(-3E-A)x=0，可得A的属于特征值-3的特征向量为α1=[*] 由(6E-A)x=0，可得4的属于特征值6的特征向量为α2=[*] 由(0E-A)x=0，可得A的属于特征值0的特征向量为α3=[*] 令P=(α1，α2，α3)，则P-1AP=[*]，由于α1，α2，α3彼此正交，故只需单位化即可： β1=[*](1，-1，1)T，β2=[*](-1，0，1)T，β3=[*](1，2，1)T， 则Q=(β1β2β3)=[*]，QTAQ=[*] f=-3y12+6y22．
解析
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考研数学三

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