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设f(x)在[a,b]上可导,f’(x)+[f(x)]2-∫axf(t)dt=0,且∫abf(t)dt=0。证明: ∫axf(t)dt在(a,b)内恒为零。
设f(x)在[a,b]上可导,f’(x)+[f(x)]2-∫axf(t)dt=0,且∫abf(t)dt=0。证明: ∫axf(t)dt在(a,b)内恒为零。
admin
2018-01-30
73
问题
设f(x)在[a,b]上可导,f
’
(x)+[f(x)]
2
-∫
a
x
f(t)dt=0,且∫
a
b
f(t)dt=0。证明:
∫
a
x
f(t)dt在(a,b)内恒为零。
选项
答案
若F(x)在(a,b)内可取正值,由于F(a)=F(b)=0,故F(x)在(a,b)内存在最大值且为正,从而知F(x)在(a,b)内存在正的极大值,与(I)中的结论矛盾,故F(x)在(a,b)内不可能取正值。同理可证F(x)在(a,b)内也不可能取到负值,故F(x)在(a,b)内恒为零。
解析
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考研数学二
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