设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]2－∫axf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0。证明： ∫axf(t)dt在(a，b)内恒为零。

admin2018-01-30 56

问题设f(x)在[a，b]上可导，f^’(x)+[f(x)]²－∫_a^xf(t)dt=0，且∫_a^bf(t)dt=0。证明：
∫_a^xf(t)dt在(a，b)内恒为零。

选项

答案若F(x)在(a，b)内可取正值，由于F(a)=F(b)=0，故F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知F(x)在(a，b)内存在正的极大值，与(I)中的结论矛盾，故F(x)在(a，b)内不可能取正值。同理可证F(x)在(a，b)内也不可能取到负值，故F(x)在(a，b)内恒为零。

解析

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