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  3. (2012试题，三) (1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)，在区间内有且仅有一个实根； (2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．

(2012试题，三) (1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)，在区间内有且仅有一个实根； (2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．

admin2013-12-18  52
问题 (2012试题，三)
(1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)，在区间内有且仅有一个实根；
(2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．
选项
答案(1)证明：令f(x)=xn+xn-1+…+x一1，则[*]f(1)=1n+1n-1+…+1—1=n一1>0，因此由零点定理知f(x)=0在[*]内至少有一实根．又f’(x)=nxn-1+(n一1)xn-2+…+2x+1>0，[*]故f(x)在[*]上是单调递增函数，所以f(x)=0在[*]内有且仅有一个实根． (2)由题设，有f(xn)=0，又f’(x)=nx+(n一1)xn-2+…+2x+1>1[*]又设f(x)=f(x)+1=xn+xn-1+…+x，则F(xn)=1则有[*][*]由夹逼定理，有[*]
解析
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考研数学二

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