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(2012试题,三) (1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数),在区间内有且仅有一个实根; (2)记(1)中的实根为xn,证明存在,并求此极限.
(2012试题,三) (1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数),在区间内有且仅有一个实根; (2)记(1)中的实根为xn,证明存在,并求此极限.
admin
2013-12-18
102
问题
(2012试题,三)
(1)证明方程x
n
+x
n-1
+…+x=1(n为大于1的整数),在区间
内有且仅有一个实根;
(2)记(1)中的实根为x
n
,证明
存在,并求此极限.
选项
答案
(1)证明:令f(x)=x
n
+x
n-1
+…+x一1,则[*]f(1)=1
n
+1
n-1
+…+1—1=n一1>0,因此由零点定理知f(x)=0在[*]内至少有一实根.又f
’
(x)=nx
n-1
+(n一1)x
n-2
+…+2x+1>0,[*]故f(x)在[*]上是单调递增函数,所以f(x)=0在[*]内有且仅有一个实根. (2)由题设,有f(x
n
)=0,又f
’
(x)=nx+(n一1)x
n-2
+…+2x+1>1[*]又设f(x)=f(x)+1=x
n
+x
n-1
+…+x,则F(x
n
)=1则有[*][*]由夹逼定理,有[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t234777K
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考研数学二
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