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  3. 已知随机变量X～N(0，1)，求： (Ⅰ)Y=的分布函数； (Ⅱ)Y=eX的概率密度； (Ⅲ)Y=｜X｜的概率密度．(结果可以用标准正态分布函数Ф(x)表示)

已知随机变量X～N(0，1)，求： (Ⅰ)Y=的分布函数； (Ⅱ)Y=eX的概率密度； (Ⅲ)Y=｜X｜的概率密度．(结果可以用标准正态分布函数Ф(x)表示)

admin2016-10-26  57
问题 已知随机变量X～N(0，1)，求：
(Ⅰ)Y=的分布函数；
(Ⅱ)Y=eX的概率密度；
(Ⅲ)Y=｜X｜的概率密度．(结果可以用标准正态分布函数Ф(x)表示)
选项
答案先用定义法求分布函数，而后再求概率密度． (Ⅰ)由题设知Y是离散型随机变量，其概率分布为P{Y=－1}=P{X＜1}=Ф(1)， P{Y=1}=P{X≥1}=1一P{X＜1}=1一Ф(1)=Ф(一1)， 故Y的分布函数 F(y)=P{Y≤y}=[*] (Ⅱ)Y=eX的分布函数F(y)=P{Y≤y}=P{eX≤y}，故当y≤0时，F(y)=0；当y＞0时，F(y)=P{X≤lny}=Ф(lny)，即 [*] (Ⅲ)Y=｜X｜的分布函数F(y)=P{｜X｜≤y}，当y＜0时，F(y)=0；当y≥0时， F(y)=P{｜X｜≤y}=P{一y≤X≤y}=Ф(y)一Ф(一y)=2Ф(y)一1， 即 [*] 所以概率密度 f(y)=F′(y)=[*]
解析
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考研数学一

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