设0＜χ0＜1，χn+1＝χn(2－χn)，求证：{χn}收敛并求χn．

admin2016-10-21 27

问题设0＜χ₀＜1，χ_n+1＝χ_n(2－χ_n)，求证：{χ_n}收敛并求

χ_n．

选项

答案令f(χ)＝χ(2－χ)，则χ_n+1＝f(χ_n)．易知 f′(χ)＝2(1－χ)＞0， χ∈(0，1)．因0＜χ₀＜1[*]χ₁＝χ₀(2－χ₀)＝1－(χ₀－1)²∈(0，1)．若χ_n∈(0，1)[*]χ_n+1＝χ_n(2－χ_n)∈(0，1)．又χ₁－χ₀＝χ₀(1－χ₀)＞0[*]{χ_n}单调上升且有界[*]极限[*]χ_n＝a．由递归方程得a＝a(2－a)．显然a＞0[*]a＝1．因此[*]＝1．

解析

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