设f(x)=(x－a)nψ(x),其中ψ(x)在a点的一个邻域内有(n－1)阶连续导数，则f(n)(a)=________。

admin2022-09-05 79

问题设f(x)=(x－a)ⁿψ(x),其中ψ(x)在a点的一个邻域内有(n－1)阶连续导数，则f⁽ⁿ⁾(a)=________。

选项

答案n!ψ(a)

解析根据题设条件，由莱布尼兹公式可得
f^(n-1)(x)=[(x－a)ⁿψ(x)]^(n-1)
=(x－a)ⁿψ^(n-1)(x)+C_n-1¹n(x－a)^n-1ψ^(n-2)(x)+.....+C_n-1^n-2n(n－1)…3(x－a)²ψ’(x)+n!(x－a)ψ(x)
由此可知，f^(n-1)(a)=0再由导数定义可得
f⁽ⁿ⁾(a)=

[(x－a)^n-1ψ^(n-1)(x)+C_n-1¹n(x－a)^n-2ψ^(n-2)(x)+....+C_n-1^n-2n(n－1)...3(x－a)ψ’(x)+n!ψ(x)]
=n!ψ(a)

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考研数学三

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