设f(x)=(x-a)nψ(x),其中ψ(x)在a点的一个邻域内有(n-1)阶连续导数,则f(n)(a)=________。

admin2022-09-05  54

问题 设f(x)=(x-a)nψ(x),其中ψ(x)在a点的一个邻域内有(n-1)阶连续导数,则f(n)(a)=________。

选项

答案n!ψ(a)

解析 根据题设条件,由莱布尼兹公式可得
f(n-1)(x)=[(x-a)nψ(x)](n-1)
=(x-a)nψ(n-1)(x)+Cn-11n(x-a)n-1ψ(n-2)(x)+.....+Cn-1n-2n(n-1)…3(x-a)2ψ’(x)+n!(x-a)ψ(x)
由此可知,f(n-1)(a)=0再由导数定义可得
f(n)(a)=
=[(x-a)n-1ψ(n-1)(x)+Cn-11n(x-a)n-2ψ(n-2)(x)+....+Cn-1n-2n(n-1)...3(x-a)ψ’(x)+n!ψ(x)]
=n!ψ(a)
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