2. 考研
  3. 设f(x)=(x－a)nψ(x),其中ψ(x)在a点的一个邻域内有(n－1)阶连续导数，则f(n)(a)=________。

设f(x)=(x－a)nψ(x),其中ψ(x)在a点的一个邻域内有(n－1)阶连续导数，则f(n)(a)=________。

admin2022-09-05  76
问题 设f(x)=(x－a)nψ(x),其中ψ(x)在a点的一个邻域内有(n－1)阶连续导数，则f(n)(a)=________。
选项
答案n!ψ(a)
解析 根据题设条件，由莱布尼兹公式可得
f(n-1)(x)=[(x－a)nψ(x)](n-1)
=(x－a)nψ(n-1)(x)+Cn-11n(x－a)n-1ψ(n-2)(x)+.....+Cn-1n-2n(n－1)…3(x－a)2ψ’(x)+n!(x－a)ψ(x)
由此可知，f(n-1)(a)=0再由导数定义可得
f(n)(a)=
=[(x－a)n-1ψ(n-1)(x)+Cn-11n(x－a)n-2ψ(n-2)(x)+....+Cn-1n-2n(n－1)...3(x－a)ψ’(x)+n!ψ(x)]
=n!ψ(a)
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考研数学三

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