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设f(x)=(x-a)nψ(x),其中ψ(x)在a点的一个邻域内有(n-1)阶连续导数,则f(n)(a)=________。
设f(x)=(x-a)nψ(x),其中ψ(x)在a点的一个邻域内有(n-1)阶连续导数,则f(n)(a)=________。
admin
2022-09-05
43
问题
设f(x)=(x-a)
n
ψ(x),其中ψ(x)在a点的一个邻域内有(n-1)阶连续导数,则f
(n)
(a)=________。
选项
答案
n!ψ(a)
解析
根据题设条件,由莱布尼兹公式可得
f
(n-1)
(x)=[(x-a)
n
ψ(x)]
(n-1)
=(x-a)
n
ψ
(n-1)
(x)+C
n-1
1
n(x-a)
n-1
ψ
(n-2)
(x)+.....+C
n-1
n-2
n(n-1)…3(x-a)
2
ψ’(x)+n!(x-a)ψ(x)
由此可知,f
(n-1)
(a)=0再由导数定义可得
f
(n)
(a)=
=
[(x-a)
n-1
ψ
(n-1)
(x)+C
n-1
1
n(x-a)
n-2
ψ
(n-2)
(x)+....+C
n-1
n-2
n(n-1)...3(x-a)ψ’(x)+n!ψ(x)]
=n!ψ(a)
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考研数学三
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