设α，β都是n维列向量时，证明： ①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα． ②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．

admin2017-07-10 52

问题设α，β都是n维列向量时，证明：
①αβ^T的特征值为0，0，…，0，β^Tα．
②如果α不是零向量，则α是αβ^T的特征向量，特征值为β^Tα．

选项

答案记A＝αβ^T，则A²＝αβ^Tαβ^T＝(β^Tα)A，于是A的特征值都满足等式λ²＝(β^Tα)λ，即只可能是0和β^Tα．如果β^Tα＝0，则A的特征值都是0．如果β^Tα≠0，则A的所有特征值之和为tr(A)＝β^Tα，它们一定是n－1个为0，一个为β^Tα． ②仍记A＝αβ^T，则Aα＝αβ^Tα＝(β^Tα)α，因此则α是A的特征向量，特征值为β^Tα．

解析

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