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设A是m×n矩阵,r (A)=n,则下列结论不正确的是( ).
设A是m×n矩阵,r (A)=n,则下列结论不正确的是( ).
admin
2016-05-17
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问题
设A是m×n矩阵,r (A)=n,则下列结论不正确的是( ).
选项
A、若AB=O,则B=O
B、对任意矩阵B,有r(AB)=r(B)
C、存在B,使得BA=E
D、对任意矩阵B,有r(BA)=r(B)
答案
D
解析
因为r(A)=n,所以方程组AX=0只有零解,而由AB=O得B的列向量为方程组AX=0的解.故若AB=O,则B=O;
令BX=0,ABX=0为两个方程组,显然若BX=0,则ABX=0,反之,若ABX=0,因为r(A)=n,所以方程组AX=0只有零解,于是BX=0,即方程组BX=0与ABX=0为同解方程组,故r(AB)=r(B);
因为,r(A)=n,所以A经过有限次初等行变换化为
,即存在可逆矩阵P使得PA=
,令B=(E
n
O)P,则BA=E;
令A=
,B=(1 1 1),r(A)=1,但r(BA)=0≠r(B)=1,选(D).
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考研数学二
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