2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在(-1，1)内至少存在一点ξ，使得f”’(ξ)=3．

设函数f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在(-1，1)内至少存在一点ξ，使得f”’(ξ)=3．

admin2020-04-30  80
问题 设函数f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在(-1，1)内至少存在一点ξ，使得f”’(ξ)=3．
选项
答案将f(x)在x=0处展成泰勒公式， [*]，η在0与x之间． 当x=±1时，有 [*] 上面两式相减得 f”’(η1)+f”’(η2)=6． 由f”’(x)的连续性知，f”’(x)在[η2，η1]上有最大值M和值小值m，则 [*] 再由连续函数的介值定理知，至少存在ξ∈[η2，η1][*](-1，1)，使 [*]
解析 本题考查利用泰勒公式证明中值问题．由于f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，故考虑将函数f(x)在恰当点展开，根据已知条件，应将f(±1)在x=0处展开三阶泰勒公式，再利用介值定理证得结论．
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考研数学一

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