2. 考研
  3. 设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵。

设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵。

admin2017-10-19  59
问题 设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵。
选项
答案由秩(A)=r＜n，知方程组Ax一0的基础解系含n一r个向量：ξ1，ξ2，…，ξn-r。因此，ξ1，ξ2，…，ξn-r，就是A的对应于特征值0的n一r个线性无关的特征向量。设A按列分块为A=[α1α2…αn]，则题设条件AA=2A就是[Aα1Aα2…Aαn]=[2α12α2…2αn]，由Aαj=2αj，知A的列向量组的极大无关组αj1，αj2，…，αjr，就是A的对应于特征值2的r个线性无关特征向量。再由特征值的性质，知ξ1，…，ξn-r，αj1，αj2，…，αjr，就是n阶方阵A的n个线性无关特征向量，所以，A必相似于对角矩阵。
解析
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考研数学三

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