设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵。

admin2017-10-19 48

问题设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A²=2A，证明：A必相似于对角矩阵。

选项

答案由秩(A)=r＜n，知方程组Ax一0的基础解系含n一r个向量：ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r。因此，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r，就是A的对应于特征值0的n一r个线性无关的特征向量。设A按列分块为A=[α₁α₂…α_n]，则题设条件AA=2A就是[Aα₁Aα₂…Aα_n]=[2α₁2α₂…2α_n]，由Aα_j=2α_j，知A的列向量组的极大无关组α_j1，α_j2，…，α_jr，就是A的对应于特征值2的r个线性无关特征向量。再由特征值的性质，知ξ₁，…，ξ_n-r，α_j1，α_j2，…，α_jr，就是n阶方阵A的n个线性无关特征向量，所以，A必相似于对角矩阵。

解析

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考研数学三

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