设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(x)(4)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有｜f’’(x0)-(x-x0)2，其中x’为x关于x0的对称点．

admin2018-05-22 65

问题设f(x)在x₀的邻域内四阶可导，且｜f(x)⁽⁴⁾｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x₀的点x，有｜f’’(x₀)-

(x-x₀)²，其中x’为x关于x₀的对称点．

选项

答案由f(x)f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+[*](x-x₀)²+[*](x-x₀)³+[*](x-x₀)⁴， f(x’)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+[*](x’-x₀)²+[*](x’-x₀)³+[*](x’-x₀)⁴，两式相加得 f(x)+f(x’)-2f(x₀)=f’’(x₀)(x-x₀)²+[*][f⁽⁴⁾(ξ₁)+f⁽⁴⁾(ξ₂)](x-x₀)⁴，于是｜f’’(x₀)-[*][f⁽⁴⁾(ξ₁)｜+｜f⁽⁴⁾(ξ₂)｜](x-x₀)²，再由｜f⁽⁴⁾(x)｜≤M，得｜f’’(x₀)-[*](x-x₀)²．

解析

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考研数学二

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