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设f(x)在x0的邻域内四阶可导,且|f(x)(4)|≤M(M>0).证明:对此邻域内任一异于x0的点x,有|f’’(x0)-(x-x0)2,其中x’为x关于x0的对称点.
设f(x)在x0的邻域内四阶可导,且|f(x)(4)|≤M(M>0).证明:对此邻域内任一异于x0的点x,有|f’’(x0)-(x-x0)2,其中x’为x关于x0的对称点.
admin
2018-05-22
70
问题
设f(x)在x
0
的邻域内四阶可导,且|f(x)
(4)
|≤M(M>0).证明:对此邻域内任一异于x
0
的点x,有|f’’(x
0
)-
(x-x
0
)
2
,其中x’为x关于x
0
的对称点.
选项
答案
由f(x)f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)+[*](x-x
0
)
2
+[*](x-x
0
)
3
+[*](x-x
0
)
4
, f(x’)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)+[*](x’-x
0
)
2
+[*](x’-x
0
)
3
+[*](x’-x
0
)
4
, 两式相加得 f(x)+f(x’)-2f(x
0
)=f’’(x
0
)(x-x
0
)
2
+[*][f
(4)
(ξ
1
)+f
(4)
(ξ
2
)](x-x
0
)
4
, 于是 |f’’(x
0
)-[*][f
(4)
(ξ
1
)|+|f
(4)
(ξ
2
)|](x-x
0
)
2
, 再由|f
(4)
(x)|≤M,得 |f’’(x
0
)-[*](x-x
0
)
2
.
解析
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考研数学二
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