2. 考研
  3. 已知A，B为3阶矩阵，且满足2A－1B＝B一4E，其中E是3阶单位矩阵． (1)证明：矩阵A－2E可逆； (2)若，求矩阵A．

已知A，B为3阶矩阵，且满足2A－1B＝B一4E，其中E是3阶单位矩阵． (1)证明：矩阵A－2E可逆； (2)若，求矩阵A．

admin2014-01-26  39
问题 已知A，B为3阶矩阵，且满足2A－1B＝B一4E，其中E是3阶单位矩阵．
(1)证明：矩阵A－2E可逆；
(2)若，求矩阵A．
选项
答案(1)由2A－1B＝B－4E，知 AB—2B—4A＝0． 从而(A－2E)(B－4E)＝8E，或(A－2E).[*](B－4E)＝E． 故A－2E可逆，且 (A－2E)－1＝[*](B－4E)． (2)由(1)知A＝2E＋8(B－4E)－1， 而[*] 故[*]
解析 [分析]  将给定矩阵等式化简整理为(A－2E).C＝E，则可得到(1)的证明．再由(1)得
    A＝2E＋8(B－4E)－1．
[评注]  在已知一矩阵等式的情况下，讨论某矩阵的可逆性、求逆矩阵或求某个矩阵，一般均应将已知等式化简为逆矩阵的定义形式进行分析．
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考研数学二

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