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已知A,B为3阶矩阵,且满足2A-1B=B一4E,其中E是3阶单位矩阵. (1)证明:矩阵A-2E可逆; (2)若,求矩阵A.
已知A,B为3阶矩阵,且满足2A-1B=B一4E,其中E是3阶单位矩阵. (1)证明:矩阵A-2E可逆; (2)若,求矩阵A.
admin
2014-01-26
54
问题
已知A,B为3阶矩阵,且满足2A
-1
B=B一4E,其中E是3阶单位矩阵.
(1)证明:矩阵A-2E可逆;
(2)若
,求矩阵A.
选项
答案
(1)由2A
-1
B=B-4E,知 AB—2B—4A=0. 从而(A-2E)(B-4E)=8E,或(A-2E).[*](B-4E)=E. 故A-2E可逆,且 (A-2E)
-1
=[*](B-4E). (2)由(1)知A=2E+8(B-4E)
-1
, 而[*] 故[*]
解析
[分析] 将给定矩阵等式化简整理为(A-2E).C=E,则可得到(1)的证明.再由(1)得
A=2E+8(B-4E)
-1
.
[评注] 在已知一矩阵等式的情况下,讨论某矩阵的可逆性、求逆矩阵或求某个矩阵,一般均应将已知等式化简为逆矩阵的定义形式进行分析.
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考研数学二
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