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设A=,问当k取何值时,存在可逆矩阵P,使得P-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵.
设A=,问当k取何值时,存在可逆矩阵P,使得P-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵.
admin
2019-05-11
21
问题
设A=
,问当k取何值时,存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵.
选项
答案
由|λE-A|=[*] =(λ+1)
2
(λ-1)=0 得A的全部特征值为λ
1
=λ
2
=-1,λ
3
=1.故A可对角化[*]A的属于2重特征值λ
1
=λ
2
=-1的线性无关特征向量有2个[*]方程组(-E-A)χ=0的基础解系含2个向量[*]3-r(-E-A)=2[*]r(-E-A)=[*]k=0.当k=0时,可求出A的对应于特征值-1,-1;1的线性无关特征向量分别可取为α
1
=(-1,2,0)
T
,α
2
=(1,0,2)
T
,α
3
=(1,0,1)
T
,故令P=[α
1
α
2
α
3
]=[*],则有P
-1
AP=diag(-1,-1,1).
解析
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考研数学二
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