设A＝，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．

admin2019-05-11 59

问题设A＝

，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P^-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．

选项

答案由｜λE－A｜＝[*] ＝(λ＋1)²(λ－1)＝0 得A的全部特征值为λ₁＝λ₂＝－1，λ₃＝1．故A可对角化[*]A的属于2重特征值λ₁＝λ₂＝－1的线性无关特征向量有2个[*]方程组(－E－A)χ＝0的基础解系含2个向量[*]3－r(－E－A)＝2[*]r(－E－A)＝[*]k＝0．当k＝0时，可求出A的对应于特征值－1，－1；1的线性无关特征向量分别可取为α₁＝(－1，2，0)^T，α₂＝(1，0，2)^T，α₃＝(1，0，1)^T，故令P＝[α₁ α₂ α₃]＝[*]，则有P^-1AP＝diag(－1，－1，1)．

解析

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