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  3. 设A为n阶非零矩阵，且A2＝A，r(A)＝r(0＜r＜n)．求｜5E＋A｜．

设A为n阶非零矩阵，且A2＝A，r(A)＝r(0＜r＜n)．求｜5E＋A｜．

admin2017-09-15  47
问题 设A为n阶非零矩阵，且A2＝A，r(A)＝r(0＜r＜n)．求｜5E＋A｜．
选项
答案因为A2＝A[*]A(E－A)＝O[*]r(A)＋r(E－A)＝n[*]A可以对角化． 由A2＝A，得｜A｜.｜E－A｜＝0，所以矩阵A的特征值为λ＝0或1． 因为r(A)＝r且0＜r＜n，所以0和1都为A的特征值，且λ＝1为r重特征值，λ＝0为n－λ重特征值， 所以5E＋A的特征值为λ＝6(r重)，λ＝5(n－r重)，故｜5E＋A｜＝5n-r×6r．
解析
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考研数学二

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