设A为n阶非零矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n).求|5E+A|.

admin2017-09-15  38

问题 设A为n阶非零矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n).求|5E+A|.

选项

答案因为A2=A[*]A(E-A)=O[*]r(A)+r(E-A)=n[*]A可以对角化. 由A2=A,得|A|.|E-A|=0,所以矩阵A的特征值为λ=0或1. 因为r(A)=r且0<r<n,所以0和1都为A的特征值,且λ=1为r重特征值,λ=0为n-λ重特征值, 所以5E+A的特征值为λ=6(r重),λ=5(n-r重),故|5E+A|=5n-r×6r

解析
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