设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )

admin2018-04-12 31

问题设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )

选项 A、矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价。
B、矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价。
C、矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价。
D、矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价。

答案B

解析方法一：把矩阵A，C按列分块：A=(α₁，α₂，…，α_n)，C=(γ₁，γ₂，…，γ_n)，由于AB=C，则可知
(α₁，α₂，…，α_n)

=(γ₁，γ₂，…，γ_n)。

得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示。同时由于B可逆，则A=CB^－1。
同理，矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价。应该选B。
方法二：可逆矩阵可表示为若干个初等矩阵的乘积，于是A经过有限次初等列变换化为C，而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系，故选B。

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考研数学二

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