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设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|x2+y2≤1}上服从均匀分布. (Ⅰ)问X与Y是否相互独立; (Ⅱ)求X与Y的相关系数.
设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|x2+y2≤1}上服从均匀分布. (Ⅰ)问X与Y是否相互独立; (Ⅱ)求X与Y的相关系数.
admin
2020-03-05
38
问题
设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|x
2
+y
2
≤1}上服从均匀分布.
(Ⅰ)问X与Y是否相互独立;
(Ⅱ)求X与Y的相关系数.
选项
答案
依题意,(X,Y)的联合密度为 [*] (Ⅰ)为判断X与Y的相互独立性,先要计算边缘密度f
X
(x)与f
Y
(y). f
X
(x)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dy [*] 当|x|>1时,f
X
(x)=0. 类似地,有f
Y
(y) [*] 当x=y=0时,f(0,0)=1/π,而f
X
(0)f
Y
(0)=[*]=4/π
2
.显然它们不相等,因此随机变量X与Y不是相互独立的. 或f
X
(x).f
Y
(y)≠f(x,y),故X与Y不相互独立. (Ⅱ)EX=∫
-∞
+∞
xf
X
(x)dx=∫
-1
1
x[*]dx=0. 在这里,被积函数是奇函数,而积分区间[-1,1]又是关于原点对称的区间,故积分值为零.类似地,有 EY=0. E(XY)=∫
-∞
+∞
∫
-∞
+∞
xyf(x,y)dxdy [*] 故Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0, [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t0S4777K
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考研数学一
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