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  3. 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上服从均匀分布． (Ⅰ)问X与Y是否相互独立； (Ⅱ)求X与Y的相关系数．

设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上服从均匀分布． (Ⅰ)问X与Y是否相互独立； (Ⅱ)求X与Y的相关系数．

admin2020-03-05  22
问题 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上服从均匀分布．
(Ⅰ)问X与Y是否相互独立；
(Ⅱ)求X与Y的相关系数．
选项
答案依题意，(X，Y)的联合密度为 [*] (Ⅰ)为判断X与Y的相互独立性，先要计算边缘密度fX(x)与fY(y)． fX(x)=∫－∞+∞f(x，y)dy [*] 当|x|＞1时，fX(x)=0． 类似地，有fY(y) [*] 当x=y=0时，f(0，0)=1／π，而fX(0)fY(0)=[*]=4／π2．显然它们不相等，因此随机变量X与Y不是相互独立的． 或fX(x)．fY(y)≠f(x，y)，故X与Y不相互独立． (Ⅱ)EX=∫－∞+∞xfX(x)dx=∫－11x[*]dx=0． 在这里，被积函数是奇函数，而积分区间[－1，1]又是关于原点对称的区间，故积分值为零．类似地，有 EY=0． E(XY)=∫－∞+∞∫－∞+∞xyf(x，y)dxdy [*] 故Cov(X，Y)=E(XY)－EXEY=0， [*]
解析
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考研数学一

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