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设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (I)求X与Y的相关系数; (Ⅱ)令Z=XY,求Z的数学期望与方差.
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (I)求X与Y的相关系数; (Ⅱ)令Z=XY,求Z的数学期望与方差.
admin
2018-11-20
61
问题
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为
(I)求X与Y的相关系数;
(Ⅱ)令Z=XY,求Z的数学期望与方差.
选项
答案
首先计算X,Y的边缘概率密度 f
X
(x)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dy=[*] f
Y
(y)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dx=[*] (I)计算得知,对任何x,y,都有f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y),因此X与Y独立,从而其相关系数ρ
XY
=0. (Ⅱ)根据X,Y的边缘概率密度可以求出它们的数字特征: EX=∫
0
+∞
xe
-x
dx=1;EX
2
=∫
0
+∞
x
2
e
-x
dx=2; EY=∫
0
+∞
y
2
e
-y
dy=2;EY
2
=∫
0
+∞
y
3
e
-y
dy=6. 由(I)知X与Y独立,因此X
2
与Y
2
也独立.于是 EZ=E(XY)=EXEY=2, EZ
2
=E(XY)
2
=E(X
2
Y
2
)=EX
2
EY
2
=2×6=12,故 DZ=EZ
2
一(EZ)
2
=8.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t5W4777K
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考研数学三
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