设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 (I)求X与Y的相关系数； (Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．

admin2018-11-20 52

问题设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为

(I)求X与Y的相关系数；
(Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．

选项

答案首先计算X，Y的边缘概率密度 f_X(x)=∫_-∞^+∞f(x，y)dy=[*] f_Y(y)=∫_-∞^+∞f(x,y)dx=[*] (I)计算得知，对任何x，y，都有f(x，y)=f_X(x)f_Y(y)，因此X与Y独立，从而其相关系数ρ_XY=0． (Ⅱ)根据X，Y的边缘概率密度可以求出它们的数字特征： EX=∫₀^+∞xe^-xdx=1；EX²=∫₀^+∞x²e^-xdx=2； EY=∫₀^+∞y²e^-ydy=2；EY²=∫₀^+∞y³e^-ydy=6．由(I)知X与Y独立，因此X²与Y²也独立．于是 EZ=E(XY)=EXEY=2， EZ²=E(XY)²=E(X²Y²)=EX²EY²=2×6=12，故 DZ=EZ²一(EZ)²=8．

解析

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考研数学三

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